3. Từ 400 đến 1400 CN

Mặc dù thu lượm nhiều thành quả trong các lĩnh vực khác, Đế quốc La Mã lại yếu kém về mặt toán học, và việc chinh phục khu vực Địa Trung Hải của họ không mang lại gì nhiều cho các khoa học lí thuyết. Bất kì hoạt động nào ở đó cũng đều chịu của ảnh hưởng còn lại của Hi Lạp và của phương Đông, khi đó cơ bản vẫn còn nguyên vẹn dù có những bi kịch như cái chết của Archimedes. Cùng với sự sụp đổ của La Mã và sự tan biến nền thống trị chính trị Latin vào năm 476, văn minh phương Tây bước vào giai đoạn ngưng trệ về mặt tri trức.

Tên tuổi duy nhất đáng được ghi nhận là Anicius Manlius Severinus Boethius (khoảng 475 – 524), một công dân La Mã, nhà chính trị, triết học và toán học mà các công trình của ông gồm số học, hình học và âm nhạc (được xem như là một phần của toán học lúc bấy giờ). Mặc dầu các tài liệu này thiếu tính ngọn nguồn và nhất là không phong phú về mặt nội dung, các bài viết của ông vẫn được các trường đạo coi như chính thống trong nhiều thế kỉ. Việc đánh giá cao này có thể do ông là thánh tử đạo Thiên chúa hơn là giá trị nội tại của tài liệu. Thật sự, tiến bộ về tư tưởng của Tây Âu đi xuống tận đáy của nó vào thế kỉ thứ 6.

Trong khi đó Toán học Ấn Độ bắt đầu kết trái. Ảnh hưởng của khoa học Babylon và phương Đông hoà quyện với tư tưởng bản xứ Ấn Độ và từ đó nẩy nở ra các kết quả có ý nghĩa trong đại số và số học. Các nhà toán học Hindu (Ấn) thế kỉ thứ 5 đã làm việc với các số phẳng[2] và số không gian[3], thu đạt các kết quả cả về lí thuyết lẫn tính toán, có cả việc xấp xỉ số π bởi 62832/20000 hay 3.1416.

Trong thế kỉ kế, công trình này được mở rộng thêm để xử lí các phương trình đại số vô định theo phương pháp của Diophantus (Đi-ô-phăng). Tuy nhiên, người Hindu giới hạn các bài toán của mình để chỉ cho các nghiệm nguyên, cả duơng lẫn âm và các điều kiện đó là những điều kiện mà chúng ta dùng trong biện luận các phương trình Diophant mà hiện nay.

Thành tựu quan trọng của toán học Ấn là việc phát triển hệ đếm mà chúng ta dùng hiện nay, hệ vi trí cơ số 10 và kể cả kí hiệu cho số zero. Cả hệ thập phân lẫn hệ vi trí đều đã được các dân tộc khác phát triển trước đó, nhưng đây là sư kết hợp đầu tiên của cả hai ý tưởng. Những bằng chứng về việc sử dụng nó có từ năm 595 CN, nhưng kí hiệu zero không tìm thấy đưọc vết tích chắc chắn trước thế kỉ thứ 9, mặc dầu người Babybon cũng có một kiểu cách kí hiệu tương tự trước thời đại Thiên chúa.

Bắt đầu với Mohammed’s Hegira năm 622, nguời Hồi giáo đã trở thành nguồn ảnh hưởng chi phối trong toán học phương Tây. Binh sĩ đạo Hồi tràn qua Bắc Phi đi vào Tây Á, và chọc thủng nhiều phần châu Âu. Toán học Hi Lạp và Ấn Độ đã được các học giả Á Rập hấp thụ và tổng hợp, họ dịch hầu hết các bản thảo quan trọng sang tiếng Á Rập, khi dịch chỉ đóng góp chút ít vào những điều có tính căn cơ nhưng có công tinh giản các tài liệu hiện có và bảo toàn tính kế tục của tư tưởng.

Các vua Hồi thế kỉ thứ 8 và 9 là những nhà bảo trợ vĩ đại của các khoa học chính xác, đặc biệt là thiên văn và toán học, và vì thế việc học tập khoa học đã lan rộng khắp thế giới Á Rập . Trong số các học giả đạo Hồi giai đoạn này có một người rất xứng đáng nêu tên một cách đặc biệt. Ông ta là Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (khoảng 825), đã viết 2 quyển sách có ý nghĩa, một quyển về số học và quyển kia về đại số. Chỉ có quyển thứ hai là vẫn còn tồn tại nguyên bản tiếng Á Rập, nhưng cả hai quyển đều được các học giả châu Âu thế kỉ 12. dịch sang tiếng Latin.

Tựa đề quyển thứ nhất trong bản dịch là Algorithmi de numero Indorum (từng chữ là “Al-Khowarizmi về các số Ấn Độ”). Đó là một trong những cách mà nhờ đó châu Âu biết được hệ thống số của Ấn Độ, và đó cũng là nguồn gốc của từ “algorithm” (thuật toán). Quyển thứ hai có tựa là al-jabr w’al muqabalah (từng chữ là “phép Khôi phục và phép Đối lập”) và được dành toàn bộ cho việc nghiên cứu về các phương trình tuyến tính (bậc nhất) và bậc hai. Qua việc Latin hoá, từ khoá của tựa sách biến thành “algebra”, và do tính đại chúng rộng rãi của quyển sách ở chậu Âu, từ này chẳng bao lâu trở thành đồng nghĩa với khoa học về phương trình.


Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi

Một người khác cũng đáng nêu tên ngắn gọn ở đây. Omar Khayyám, sống ở Bắc Iran vào cuối thế kỉ 11 đươc biết chủ yếu như là tác giả của quyển Rubáiyát, nhưng ông cũng là một nhà toán học xuất sắc. Ông viết về Euclid, làm lịch hiệu đính Iran (Ba Tư), và viết một quyển sách về đại số trong đó ông bàn về việc xác định các nghiệm của phương trình bậc ba như là giao điểm của hai mặt cắt conic.

Chỉ cho đến những năm cuối của thế kỉ 11 các nhà kinh điển toán học Hi lạp mới bắt đầu thâm nhập vào châu Âu, và cùng với sự trổi dậy chậm chạp của nến phong kiến, phương Tây bắt đầu khuấy động lên từ tình trạng ngày ngủ về học thuật. Trong thế kỉ 12, họ dịch lại sang tiếng Latin các công trình toán học lớn đã đưọc dịch sang tiếng Á rập vài thế kỉ trước, đặc biệt là ở Tây Ban Nha nơi nhiều học giả Do Thái được sử dụng cho mục đích này sau sư thua trận của người Moors vào năm 1085.

Khi giao thương giữa phương Tây và phương Đông mở rộng, nhiều trung thương mại cuờng thịnh đã được thành lập dọc theo bờ biển nước Italy. Các nhà buôn châu Âu bắt đầu thăm viếng phương Đông để tìm kiếm và đưa vào sử dụng thực tế bất kì thông tin khoa học nào mà họ có thể tìm thấy được. Người đầu tiên trong số đó đã làm ra một công trình toán học có ý nghĩa là Leonardo of Pisa (k 1170 – k 1250), được biết nhiều hơn với tên Fibonacci. Công trình chính của ông là bộ Liber Abaci, một công cụ phổ biến hệ đếm Ấn Độ – Á Rập cho Tây Âu. Ông cũng viết về đại số và hình học, và tìm tòi về dãy số vô định đến nay vẫn còn mang tên ông (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…. Mỗi số hạng là tổng của 2 số hạng liền trước).


Fibonacci

Không phải toàn bộ các thứ toán học trong giai đoạn này đã được hình thành chỉ vì giá trị thực tiễn của chúng. Các nhà triết học kinh viện đã nghiên cứu về tính vô hạn và các ý tưởng của họ đã ảnh hưởng các nhà toán học thế kỉ 17 lẫn 18. Các học giả quan chức cũng làm việc trong các lãnh vực hình học và đại số. Nổi bậc trong số này là Nicole Oresme (k. 1323 -1382), giám mục vùng Lisieux, cũng là một nhà kinh tế. Ông đuợc biết như người đầu tiên đã dùng số mũ phân số và định vị các điểm bằng toạ độ số.

Khi các thành phố mọc thêm khắp châu Âu thì các trường của nhà thờ bắt đầu giành lấy vị trí của mình. Chúng trở thành các đại học, được trao quyền cấp bằng được cả Nhà nước và nhà thờ công nhận. Những trưòng đại học đầu tiên ở Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples đều đươc ban quyền trong thế kỉ 13. Việc đổi mới này như một hứa hẹn to lớn cho sự tiến triển của học thuật suốt thế kỉ 14, nhưng hứa hẹn đó chỉ hoàn tất một phần, bởi vì mặc dù các trường đại học đã học thành lập nhưng cuộc Chiến tranh trăm năm (1337 -1453) và trận dịch Đen (1347-1351) đã làm ngưng trệ nền văn hoá mới nổi của châu Âu và trì hoãn sự hồi sinh của sáng tạo toán học.

(Sưu tầm)