Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Vui mừng chào đón

    0 khách và 0 thành viên
    Gốc > THUẬT TOÁN >

    Những Tiên Ðề của Euclid và Hình Tam Giác của Phương Ðông

    Thứ sáu, tháng mười một 19, 2010

     

    Trong câu chuyện này, tôi sẽ nói về những vẻ đẹp tuyệt vời của hình tròn. Từ khi loài người biết suy nghĩ, ban đêm nhìn thấy sao hiện ra rồi lấp ló có ánh trăng. Chờ đợi từng ngày, cho đến ngày rằm, lúc trăng tròn, hiện ra suốt đêm từ hoàng hôn cho đến rạng đông, hình thể mặt trăng lúc đó được coi là tuyệt mỹ. Ðứng bên một mặt hồ phẳng lặng, ta có thể bỗng nhiên nghe tiếng cá đớp và nhìn ra sẽ thấy những ngấn nước loang dần dần theo những vòng tròn đồng tâm. Hay có thể một buổi sáng, sau cơn mưa nhìn về phía Tây, con người nhìn thấy một cầu vồng mầu sắc vẽ một vành cung lớn trên nền trời. Ðó là những hình tròn thiên nhiên con người nhìn thấy từ thời thạch động. Khi con người nghĩ ra được bánh xe tròn là lúc đó phương tiện chuyển vận đã được một bước nhẩy vọt không khác gì khi chế ra được chiếc thuyền để đi trên mặt nước hay khi dùng được máy hơi nước để chuyển vận những toa tầu trên đường sắt. Thi nhân đã không tiếc lời ca tụng mặt trăng, cho đến nỗi khi tả sắc đẹp của mỹ nhân cũng nghĩ rằng mặt người nếu tròn như mặt trăng đêm rằm là mặt đẹp như đoạn Nguyễn Du tả Thúy Vân:
    “Vân xem trang trọng khác vời
    Khuôn trăng đầy đặn, nét ngài nở nang”

    Nhưng bạn đọc có thể hỏi tại sao lại chọn hình tròn và cho hình này là hình đặc sắc nhất. Trước đây ta đã có dịp gặp những hình Cycloid, đã được gọi là nàng tiên đẹp Helen của thành Troy, ta đã thấy hình Catenary tức là hình nếp áo treo của tiên nữ, ngoài ra còn biết bao nhiêu hình khác các nhà toán học đã tìm ra trải qua ba nghìn năm nghiên cứu. Vì vậy để hiểu được vị trí của hình tròn trong toán học, chúng ta trước hết hãy duyệt qua một số hình đặc sắc khác trước khi đi đến kết luận hình nào là hình đẹp tuyệt vời.

    Chúng ta chắc nhiều người đã đọc những chuyện võ hiệp và đã được biết có một thời trong võ lâm có năm bậc tài năng tới mức thượng thừa. Năm vị lãnh tụ võ lâm ấy là Hoàng Dược Sư, Âu Dương Phong, Ðoàn Nam Ðế, Hồng Thất Công và Vương Trùng Dương mỗi vị trấn một phương, uy thế ngất trời. Một lần họ họp với nhau suốt bẩy ngày và bẩy đêm trên đỉnh núi Hoa Sơn để bàn luận võ công, tuy không thực sự quần thảo nhưng dùng lý thuyết và biểu diễn tranh tài cao thấp. Chung cuộc họ đi đến kết luận là người nào cũng đã đến tuyệt đỉnh môn phái võ của mình. Âu Dương Phong có môn Hàm Mô Công thật là ác độc, Hoàng Dược Sư là một nhà thông thái võ công huyền ảo, kỳ bí, có phần chính, có phần tà, vị Ðế Vương miền Vân Nam họ Ðoàn được thừa hưởng môn võ Nhất Dương Chỉ truyền đời, chỉ dùng ngón tay mà tạo ra những đường kiếm linh hoạt, ảo diệu. Ngoài ra Hồng Thất Công là vị bang chủ Cái bang, tính tình hào hiệp, trọng nghĩa khinh tài, môn Giáng Long có mười tám thế đánh bằng tay sức mạnh ví như có thể di sơn, đảo hải, lại thêm môn võ đánh gậy trúc gọi nôm na là Ðả Cẩu Bổng Pháp tuy nhẹ nhàng nhưng lại huyền diệu lợi hại khôn lường. Tuy không tôn một ai làm minh chủ của võ lâm nhưng các vị lãnh tụ đều phải nhận là giáo chủ Vương Trùng Dương, xưa nay vẫn ẩn cư ở núi Chung Nam, võ nghệ, kiến thức tuyệt luân, tính tình lại từ hòa nhân ái đáng giữ ngôi vị ở trung ương. Từ đó truyền bá ra Võ Lâm theo phương vị là Ðông Tà, Tây Ðộc, Nam Ðế, Bắc Cái, Trung Thần Thông, ý nói là Hoàng Dược Sư giữ ngôi vị chúa đảo ngoài Ðông Hải, trong khi đó Âu Dương Phong hùng cứ miền Tây Nguyên, Ðoàn Vương Gia là thủ lãnh suốt miền Nam và Hồng bang chủ trấn ngự toàn phía Bắc. Ở trung ương thì ngôi vị phải nhường cho con người võ nghệ siêu phàm là Vương Trùng Dương chân nhân.

    Tôi nghĩ rằng trong hình học, lựa chọn ra một hình có tính chất tuyệt luân huyền diệu cũng khó như cuộc luận kiếm trên đỉnh Hoa Sơn. Vì vậy tôi tưởng tượng ra đây một trại Hè tôi và một số bạn trẻ đã qua mấy ngày đêm thảo luận về những nét hay đẹp của một số hình trong toán học và giờ đây duyệt lại xem hình nào đáng giữ ngôi vị trung ương. Ðể buổi hội thảo có trật tự, ta tạm chia nhiệm vụ là đã có bốn nhóm trại sinh, mỗi nhóm đã nghiên cứu và chọn ra được một hình như là cao thủ võ lâm để dự cuộc tuyển chọn và hiện nay 4 nhóm này đã ngồi chung quanh theo bốn phương vị Ðông, Tây, Nam và Bắc. Số người còn lại, hoặc chưa có ý kiến, hoặc chưa đưa ra hình dự cuộc vì còn muốn giữ bí mật nay ngồi ở phần giữa của hội trường.

    Phần 1: Những Tiên Ðề của Euclid và Hình Tam Giác của Phương Ðông


    Ngồi ở Ðông vị là một nhóm trông có vẻ hăng hái hơn cả vì muốn được xuất quân trước nhất. Một bạn đại diện đứng lên và đưa đề nghị thật giản dị:

    “Hình đẹp nhất phải là hình tam giác được tạo ra bởi ba điểm A, B và C không thẳng hàng nối với nhau bằng những đoạn thẳng và trong tất cả các hình tam giác vẽ được trong thế gian, hình tuyệt mỹ là hình tam giác có ba cạnh đều nhau.”

    đó có nhiều bạn trong nhóm Ðông mỗi người đứng lên nói một câu biện minh cho sự chọn lựa của nhóm này. Tôi ghi lại đây những ý chính:
    Nếu chỉ có hai điểm thì không vẽ ra được một hình. Phải có ít nhất là ba điểm. Vậy tam giác là hình giản dị nhất, thiên nhiên nhất và dĩ nhiên là đẹp nhất.
    Làm một cái bàn chỉ có hai chân thì không thành cái bàn. Phải cần có ba chân, thành ra ba điểm đặt, và ba điểm là vững vàng nhất. Dùng bốn điểm có thể thành khập khễnh.
    Tam giác ba cạnh đều là tam giác cân xứng nhất vì có ba cạnh bằng nhau và ba góc đỉnh cũng bằng nhau. Ngoài ra, trên một mặt phẳng, muốn ghép những hình đều cạnh mà không để chừa ra khoảng trống, như lát sàn bằng gạch hoa, thì chỉ có thể dùng hình tam giác đều, hình vuông và hình lục lăng đều như Hình 1. Trong ba kiểu hình này thì tam giác đều có ít cạnh nhất, như vậy giản tiện mà lại thỏa mãn điều kiện lát gạch.


    Hình 1

    Ðến đây với tính cách là người điều khiển buổi hội thảo đầy hứng thú này, tôi muốn có ít lời nhận xét vì lời đề nghị của nhóm Ðông có liên quan đến những tiên đề của hình học.

    Trước hết tiên đề là gì? Ở thế kỷ này và trong tương lai, ở những thế kỷ tiếp nối, hay cả ở những hành tinh khác trong vũ trụ, nếu có những người thông minh xây dựng được môn toán học riêng của họ, thì môn nào cũng phải dựa vào luận lý. Lấy thí dụ trong hình học là môn toán học ta tìm ra được những tính chất gọi là a, b và c mà những tính chất này được suy đoán một cách minh bạch, không ai chỉ trích nổi, từ những tính chất mà ta gọi là d, e và f thì những tính chất sau này được coi là những tính chất khởi thủy để dùng luận lý mà xây dựng ra môn hình học. Nay ta lại xét đến những tính chất d, e và f khi những tính chất này không phải dùng những lý luận loanh quanh mà suy ra lẫn nhau mà lại được suy ra một cách rất rõ ràng từ những tính chất khác mà ta gọi là g và h, thì những tính chất sau này mới gọi là tính chất khởi thủy vì tự nhóm này mà ta đã dùng luận lý để suy ra những tính chất d, e và f, và tiếp theo đó suy ra những tính chất a, b và c. Mỗi lần suy luận một cách minh bạch, dựa vào những gì đã được công nhận để tìm ra những tính chất tiếp theo ta nói là đã chứng minh được một định lý. Nếu ta đi ngược lại về nguồn thì sẽ tới được những tính chất nguyên thủy không có thể dựa lên những tính chất nào khác nữa để chứng minh những tính chất nguyên thủy này mà ta gọi là tiên đề.

    Vậy tiên đề là những khái niệm gì ta phải công nhận, không cách gì chứng minh được, và căn cứ vào đó ta xây dựng nên cả môn toán học.
    Người đầu tiên đã đặt thành hệ thống môn hình học dựa vào những tiên đề là nhà giáo Euclid, viết sách và mở trường dậy vào khoảng những năm 330-275 trước Công nguyên ở Alexandria bên Ai Cập, tuy ông lại là người Hy Lạp. Ông đúng là nhà soạn sách thành công nhất tự cổ xưa tới nay vì hơn hai ngàn năm qua, môn hình học đã được khai triển dựa vào những tiên đề và những căn bản viết trong bộ sách 13 cuốn của ông được đặt tên là “Các Cơ Sở”

    Ðúng ra thì Euclid viết 10 tiên đề, áp dụng chung cho toán học, nhưng riêng cho môn hình học, sau nhiều thế kỷ tranh luận, sửa đổi, người ta lấy 5 tiên đề, mà 4 tiên đề đầu được lập theo từ chương mới trong những sách giáo khoa hình học như sau:

    1.Qua hai điểm có thể xác định được một đường thẳng và chỉ một mà thôi.
    2.Qua ba điểm không thẳng hàng có thể xác định được một mặt phẳng và chỉ một mà thôi.
    3.Nếu đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn nằm trong mặt phẳng này.
    4.Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có thêm một điểm chung thứ hai nữa.
    5.Tiên đề thứ năm là tiên đề được tranh luận nhiều nhất, tôi sẽ nói ở phần cuối của mục này.
    Tới đây ta cần nhận định rằng, theo định nghĩa thì tiên đề là những mệnh đề toán học phải công nhận vì không còn mệnh đề nào khác để chứng minh được. Vì vậy ta phí mất công sức để chẳng hạn dùng tiên đề 1, 2 và 3 để chứng minh tiên đề 4 vì nếu chứng minh được thì mệnh đề 4 không còn được gọi là tiên đề nữa. Phần khác ta sẽ thấy là không thể nào thêm được một tiên đề nào khác nữa Chẳng hạn, ta tự nghĩ rằng mình là một thiên tài toán học mà đặt thêm tiên đề thứ sáu.
    6.Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng.

    Ðọc lên nghe có vẻ ngon lành như khi vào một tiệm ăn cầm thực đơn mở đôi ra thì sẽ như hiển hiện ra tiên đề thư sáu. Vả chăng, nếu ta đọc lại những tiên đề 1, 2 và 3 thì thấy cũng như là thể hiện những gì hữu hình thường nhật, chẳng hạn một sợi chỉ căng giữa hai điểm (tiên đề 1), một tấm bìa cứng đặt trên ba mũi nhọn (tiên đề 2) và đặt cái thước trên một mặt bàn (tiên đề 3). Vậy tại sao mệnh đề 6 không được gọi là tiên đề nhỉ ?

    Ta phải lý luận như sau. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì chúng phải có một điểm chung và theo tiên đề 4 chúng sẽ có thêm một điểm chung thứ hai nữa. Theo tiên đề 1, ta thấy chỉ có một đường thẳng qua hai điểm này và, theo tiên đề 3 đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng. Vậy là ta đã dùng tiên đề 1, 3 và 4 để chứng minh mệnh đề 6, và mệnh đề này là một định lý chứ không được gọi là một tiên đề.

    Một nhận xét khác nữa là ta đã hình dung ra những điểm, đường thẳng hay mặt phẳng theo định nghĩa hình thể được lý tưởng hóa. Chính vị tổ sư Euclid cũng nhầm lẫn về vấn đề này. Ông tưởng tượng điểm là cái gì không thể thu nhỏ được nữa cũng như một đường là chỉ có chiều dài chứ không có chiều rộng, một mặt thì chỉ có chiều dài, chiều rộng chứ không có bề dầy. Hay đôi khi dùng những cuốn sách nhập môn về Hình Học, để khỏi lúng túng, khi đọc tiên đề 1, học sinh hỏi vặn lại là đường thẳng là gì, hay khi đọc tiên đề 2 có người thắc mắc muốn được biết định nghĩa về mặt phẳng, một nhà giáo khi chỉ có trình độ trung cấp về toán học có thể trả lời là nhìn một sợi chỉ căng là có ý niệm về đường thẳng, hay nhìn một mặt hồ không gợn sóng là có thể hình dung ra được một mặt phẳng. Sự thực ra thì ta có thể công nhận các tiên đề như đã nêu ở trên và không cần phải có định nghĩa về điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Thật vậy, nếu bạn đọc có cách nào để quên được những ý niệm hình thể về đường thẳng và mặt phẳng hay tạm cho là đường thẳng có hình hơi cong cong, và mặt phẳng hơi vềnh vồng thì những tiên đề kể trên vẫn đúng như thường vì ta đã mặc nhiên công nhận những tiên đề này. Nếu vì lấy đường thẳng cong cong mà không thích hợp với tiên đề 1 chẳng hạn thì tức là ta đã dùng ý niệm “đường thẳng là cái gì rất thẳng” để chứng minh tiên đề 1 là đúng. Như thế mệnh đề 1 đâu đáng được gọi là tiên đề. Phần khác bạn đọc có thể coi lại đoạn chứng minh mệnh đề 6 khi dùng những tiên đề 1, 3 và 4 sẽ thấy là trong lý luận này chúng ta có dùng ý niệm “đường thẳng là cái gì rất thẳng” và “mặt phẳng là cái gì rất phẳng” để làm hậu thuẫn đâu!
    Nay trở lại phát biểu của nhóm Ðông thì ta thấy hình tam giác nằm trong một mặt phẳng và ba cạnh của hình hoàn toàn nằm trong mặt phẳng này. Nhóm Ðông được dành nửa giờ để trình bầy những tính chất đặc biệt của hình tam giác. Dĩ nhiên là có nói nửa ngày trời cũng không hết. Vì vậy các bạn đã nhấn mạnh tính chất hội tụ như sau, dựa theo Hình 2.


    Hình 2

    Ba đường trung tuyến vẽ từ 3 đỉnh A, B và C như là đường AM, vẽ từ đỉnh A đến trung điểm M của cạnh đối diện BC, ba đường này gặp nhau ở điểm G là trọng tâm của tam giác và ở 2/3 các trung tuyến kể từ đỉnh.
    -Ba đường trung trực tức là những đường thẳng góc với các cạnh như BC vẽ từ trung điểm M, ba đường này cũng gặp nhau ở điểm O là một điểm cách đều ba đỉnh A, B và C. Như vậy, O là tâm điểm cuả vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ABC.
    -Ba đường cao là là những đường như AH vẽ từ đỉnh A thẳng góc với cạnh đối diện BC, ba đường này cũng gặp nhau ở một điểm I gọi là trực tâm của tam giác.
    -Ðặc biệt ba điểm O, G và I lại thẳng hàng với nhau và điểm G ở 2/3 đoạn IO kể từ điểm I. Ðường thẳng này gọi là đường thẳng của Euler.
    Nhóm Ðông có vẻ thích thú về những tính chất hội tụ của những đường đặc biệt vẽ trên hình tam giác và các bạn trẻ cho rằng những tính chất này không có ở các hình khác. Một thành viên của nhóm Ðông còn thêm tính chất rằng:
    -Nếu vẽ những đường phân giác nghĩa là những đường chia những góc A, B và C, mỗi góc làm hai phần đều nhau thì ba đường này cũng gặp nhau tại một điểm J và điểm này lại đặc biệt ở một vị trí cách đều ba cạnh BC, CA và AB. Như vậy J là tâm điểm của vòng tròn nội tiếp với tam giác ABC.
    Sau phần trình bầy của nhóm Ðông tới phần đặt câu hỏi. Câu khó trả lời nhất là:

    “Tại sao lại chọn hình tam giác có ba cạnh đều? Ngoài tính chất cốt dùng để lót gạch hoa không có khoảng trống như trên Hình 1, hình tam giác có ba cạnh đều còn có gì đặc biệt? Vả chăng muốn lát kín thì cần gì phải chọn hình có cạnh đều. Chẳng hạn trên Hình 1, thay vì chọn hình vuông, dùng hình chữ nhật có sao đâu ? Những viên gạch xây tường có hình chữ nhật cũng vẫn xếp kín được như thường. Vậy ta cũng vẫn có thể thay hình tam giác ba cạnh đều bằng những hình tam giác cân, chỉ có hai cạnh bằng nhau vẫn xếp kín được như thường chứ ?”


    Nghe câu hỏi hóc búa này, thay vì lúng túng, tất cả các bạn trong nhóm Ðông lại vỗ tay reo mừng. Lúc đó họ mới đưa ra môn võ bí hiểm bằng cách trưng ra những Hình 3 và Hình 4. Theo nhóm này thì Hình 3 biểu diễn một định lý tìm ra bởi Hoàng Ðế Napoléon Bonaparte (1769-1821).


    Hình 3

    Theo Hình 3, lấy một hình tam giác ABC bất kỳ nào và sau đó, trên những cạnh, kiến trúc ba hình tam giác đều. Trên mỗi tam giác đều, vẽ những điểm gặp nhau của những đường trung trực như điểm O đã cắt nghĩa trên hình 2. Ba tâm điểm này là ba đỉnh của một tam giác ba cạnh đều. Tính chất đặc biệt của định lý này là bất kỳ hình tam giác ABC nào cũng tạo được ra một hình tam giác ba cạnh đều. Ðịnh lý này đã làm cho nhóm ngồi phía Tây là nhóm sắp sửa ra thuyết trình có vẻ nao núng. Tuy vậy, họ cũng có lời phê bình là: “Ðịnh lý của Napoléon phải dùng đến ba hình tam giác đều để kiến trúc ra hình tam giác đều thứ tư. Vậy có gì là bất kỳ đâu ?” Câu hỏi này đi vào bẫy sập của nhóm Ðông vì họ trả lời rằng: “Hãy thử coi Hình 4 sẽ thấy hình tam giác nào cũng đưa đến hình tam giác đều, hay nói văn vẻ hơn, đường nào cũng dẫn đến kinh thành La Mã.


    Hình 4

    vậy theo Hình 4, bạn thử vẽ một tam giác bất kỳ nghĩa là không có cạnh nào bằng cạnh nào, và như thế cũng có nghĩa là không có góc nào bằng góc nào. Sau đó ở mỗi góc vẽ hai nửa đường thẳng để chia góc làm ba phần đều nhau. Những đường thẳng này cắt nhau tại những điểm là đỉnh của những hình tam giác có ba cạnh đều. Hình vẽ nét đậm trên Hình 4 là một trong những hình tam giác đều được tạo ra.
    Sau phần trình bày rất ngoạn mục này, nhóm Ðông đã nhận được một tràng pháo tay cổ võ rất nồng nhiệt. Trước khi giới thiệu phần trình bày của nhóm Tây, chắc cũng không kém phần hào hứng, tôi có chút nhận xét sau đây:
    Trở lại lời phát biểu là dùng một cái bàn ba chân là vững vàng nhất, ta thấy là nhóm Ðông đã đi vào phạm vi Cơ học, hay đúng hơn là phần Tĩnh học của Toán áp dụng này. Một cái bàn hay một cái ghế đẩu có ba chân chỉ có thể đứng vững ở vị thế tĩnh khi trọng lực của cố thể này đi qua tam giác hợp thành bởi những điểm đặt. Bạn đọc thử hình dung một mặt bàn đá, nghĩa là khá nặng, có ba chân song song và khá dài. Sau đó, cắt ngắn một chân bàn chút ít sẽ nhận thấy ngay rằng tuy vẫn có ba điểm đặt vững chãi nhưng đường trọng lực, phát xuất tự trọng tâm ở khá cao sẽ đi ra ngoài tam giác đế của chân bàn và chiếc bàn chắc chắn sẽ bị lật nghiêng.

    Tiên đề thứ năm của Euclid là:

    5.Từ một điểm A ở ngoài đường thẳng b bao giờ ta cũng kéo được một và chỉ một đường thẳng a song song với b.

    Như đã nói ở trên, trong tập “Các Cơ Sở”, Euclid mở đầu bằng cách phát biểu 10 tiên đề mà trong môn Hình Học dùng 5 tiên đề viết lại theo lối mới như trên. Trải qua hơn hai ngàn năm, nhiều nhà toán học, có những vị là những thiên tài, cho rằng tiên đề 5 chỉ là một định lý hình học có thể suy ra được bằng cách dựa trên các tiên đề khác.
    Sau nhiều lần thất bại, phải tới thế kỷ thứ 19, ba nhà toán học lỗi lạc là Carl Friedrich Gauss (1777-1855) người Ðức, Nicolai Ivanovitsch Lobatschewsky (1793-1856) người Nga và Johann Bolyai (1802-1860) người Hung, mới sáng suốt nhận chân rằng tiên đề thứ năm này quả thật là một tiên đề, không chứng minh được vì không suy ra được từ những tiên đề khác. Vị thủy tổ Euclid giữ toàn vẹn chiếc ngai Hình Học, được gọi là Hình Học Euclid. Nhưng mặt khác, các nhà toán học nói trên nghĩ rằng nếu thay thế tiên đề 5 bằng một tiên đề thật trái ngược mà dùng suy luận để đi đến một nghịch lý thì tức là đã chứng minh được tiên đề này, đó là điều đã không ai làm được. Vậy thì có thể dùng một tiên đề khác thay thế cho tiên đề 5 để xây dựng nên một môn hình học mới tức là Hình Học Phi Euclid. Lobatschewsky và Bolyai dựng nên môn hình học mới bằng cách thay tiên đề 5 bằng tiên đề

    LB. Từ một điểm A, ở ngoài đường thẳng b, có thể kéo nhiều đường song song với b.

    Dùng tiên đề này có thể làm thành một môn hình học trong đó không có gì nghịch lý cả và môn này được gọi là Hình Học Hy-pe-bol. Một môn hình học thứ ba nữa có thể được dựng ra bằng cách dùng một tiên đề trái ngược với tiên đề 5, do nhà toán học Bernhard Riemann (1826-1866) phát biểu là:

    R. Từ một điểm A ngoài đường thẳng b không thể kéo đường thẳng nào song song với b.
    Môn hình học phi Euclid này được gọi là Hình Học Ellip.

    Một nhận xét sau cùng nữa là nhóm Ðông không thể nào chỉ dùng thước kẻ thẳng và com-pa để vẽ nên Hình 4 được. Ðó là vì trong Hình Học có ba bài toán đố không thể nào dùng thước kẻ thẳng và com-pa để tìm lời giải được là các bài sau đây:

    1.Chia một góc phẳng bất kỳ làm ba góc bằng nhau.
    2.Kiến tạo một hình lập phương có thể tích gấp hai lần thể tích một hình lập phương cho sẵn.
    3.Vẽ một hình vuông có diện tích bằng một hình tròn cho sẵn.
    Theo VNmath.com


    Huỳnh Văn Lập @ 20:59 19/12/2010
    Số lượt xem: 23
    Nhắn tin cho tác giả
    Đỗ Văn Cường @ 16:43 08/01/2011
    Số lượt xem: 863
    Số lượt thích: 0 người
    Avatar
    Cảm ơn thầy Lập đã gửi bài. Xin được chuyển bài của thầy tới mục này.
    Avatar

    Putin1.jpg

    Hai anh ghiền!

    một điếu thuốc " Nào" hơn bao thuốc "ná". Bu - sơ "Nô" cho, anh bạn Phu - chin ạ! Ai biểu hôm trước có rượu Volka không mời tui chi!

    tangvang chúc vui năm mới! 

    Avatar
    Thầy lợi hại lắm. Khi nào có món độc nhất ĐC sẽ mang tặng thầy đầu tiên.
    Avatar

    ĐC ơi thầy TT đang ngồi ngoài cũng....T...H....È....M...đó Hì....Cười

    Sunday Comments and Scraps 

    Avatar
    Cái đó khỏi bàn cãi rồi. Chắc thầy TT là một tín đồ của món "chồng hút vợ say" đó.
     
    Gửi ý kiến