Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Vui mừng chào đón

    0 khách và 0 thành viên
    Gốc > DIẾN ĐÀN DẠY VÀ HỌC TOÁN >

    Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

    Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

    Từ bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học khối A năm 2010, tác giả bài viết Trần Quốc Luật sinh viên lớp 50A Đại Học Vinh đã “mổ xẻ” đề bài để từ đó khai thác triệt để đặc điểm của từng phương trình trong hệ cho ra những cách giải hay và độc đáo

    Trần Quốc Luật_ 50 A Toán

    Trong đề thi Đại Học Khối A 2010 có bài toán “phân loại” như sau:

    Bài toán: Giải hệ phương trình:

    Trước hết, ta đặt điều kiện laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người .

    Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực.

    Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ.

    Nhận thấy phương trình (1) có 2 ẩn “phân ly ” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình) đồng thời chứa  một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người  bằng nhau và bằng 3).

              Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết cô lập mỗi ẩn về mỗi vế ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

     Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người,

    ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
    Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng  laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
    Rỗ ràng   laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    nên hàm này đồng biến do đó t = 2x hay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người
    Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau:

    Cách 1.1 : Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người, ta có ngay (1) trở thành laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Suy ra laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Cách 1.2: Ta có :

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử  lý phương trình (2) với điều kiện (3)

    Cách 2.1: Thay (3) vào (2) ta có

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Cách 2.2: Nhận thấy x = 0 và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người đều không phải là nghiệm nên laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Thay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người vào phương trình thứ 2 ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Trong khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người hàm số:

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người nghịch biến

    Thật vậy, ta có

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Mặt khác ta lại có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Vì vậy phương trình g(x) = 7 chỉ có một nghiệm duy nhất laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Cách 2.3: Viết lại (4 ) dưới dạng f(x) = g(x) với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Khảo sát riêng lẻ f(x); g(x) thấy trên khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người hàm f(x) nghịch biến , g(x) đồng biến nên (4) có nghiệm duy nhất

    Cách 2.4: Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Ta có:

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (3) ta có y < 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Hệ (*) vô nghiệm

    Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì y = 2, thỏa mãn

    Nếu laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (3) ta có y > 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Hệ (*) vô nghiệm

    Cách 2.5: Thay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người vào (2) ta được :

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Đặt a = y – 1 thì ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Cách trình bày 1:

    +) Nếu a > 1 thì b < 1 nên c > 1, do vậy a < 1, vô lý

    +) Nếu  a= 1 thì b = c = 1, thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ (*) là laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Cách trình bày 2:

    Không mất tính tổng quát, giả sử laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Từ laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn ngườicó laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Tương tự laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người. Đẳng thức xảy ra khi a = b= 1. Từ đó a = b = c= 1.

    Cách 2.6:

    “Làm chặt” điều kiện được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Chú ý với điều kiện này thị các hàm laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người đồng biến , đồng thời

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người nghịch biến.

    Ta đánh giá:

    Với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì từ (1) ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

                           từ (2) laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người(mâu thuẫn)

    Với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người tương tự ta có mâu thuẫn.

    Vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thay vào thấy thỏa mãn

    Cách 2.7: Khử y ta có:

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    ĐặtlaTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người thì laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Khử x ta có:

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

    Bài tập tương tự áp dụng:

    Giải các hệ phương trình sau:

    Trích Tạp chí "Toán học và sinh viên" Trường Đại học Vinh 11/2010


    Nhắn tin cho tác giả
    Đỗ Văn Cường @ 11:39 04/03/2011
    Số lượt xem: 458
    Số lượt thích: 0 người
     
    Gửi ý kiến