Một số bài toán chứng minh, khó của bậc trung học


I .Phương pháp giải các bài chứng minh :

Một số cách giải bài toán chia hết :

Cách 1 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p .

Vd : Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số và chỉ một số chia hết cho 3 .
Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2 ( a thuộc N )
Ta xét 3 trường hợp :
TH1: a chia cho 3 dư 0
Suy ra : a chia hết cho 3
TH2: a chia cho 3 dư 1
Ta có : a = 3q + 1
a + 2 = 3q +1 + 2
a + 2 = 3q + 3
a + 2 = 3q + 3 .1
a + 2 = 3.(q + 1 )
Suy ra : a +2 chia hết cho 3
TH3 : a chia cho 3 dư 2
Ta có : a = 3q + 2
a + 1 = 3q +2 + 1
a + 1 = 3q + 3
a + 1 = 3q + 3 .1
a + 1 = 3.(q + 1)
Suy ra : a + 1 chia hết cho 3
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có duy nhất 1 số chia hết cho 3 .

Cách 2 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m ta phân tích m = p .q

a) Nếu ƯCLN ( p,q ) = 1 thì ta lần lượt chứng minh A(n) chia hết cho p , A(n) chia hết cho q rồi suy ra A(n) chia hết cho p .q hay A(n) chia hết cho m .

Vd : Chứng minh tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .
Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2 . Tích của chúng là :
A(n) = n .( n + 1 ) .( n +2 )

* Ta chứng minh A(n) chia hết cho 2
Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2 .

*Ta chứng minh A(n) chia hết cho 3
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Suy ra : A(n) chia hết cho 3
*Mà : ƯCLN( 2;3 ) = 1
Do đó : A(n) chia hết cho 2 .3
Hay : A(n) chia hết cho 6
Vậy tích 3số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .

b) Nếu ƯCLN( p,q ) khác 1 thì ta tìm cách phân tích A(n) thành tích của các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho p, thừa số khác chia hết cho q .

Vd : Chứng minh rằng tích 2 số chẵn liến tiếp chia hết cho 8 .
Giải

Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n thuộc N )
Ta có : Tích của chúng là A(n) = 2n .( 2n + 2 )
= 2 .n .2 .( n + 1 )
= 2 .2 .n .( n + 1 )
= 4n .( n +1 )
Ta có : 4 chia hết cho 4
n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n ; n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
Suy ra : A(n) chia hết cho 8
Vậy tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .

Cách 3 :

a) Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi chứng minh tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho m .

Vd : Chứng minh A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
Giải

Ta có : A(n) = n^2+ 3n
= n^2 + n + 2n
= n .n + n .1 + 2 .n
= n .( n + 1 ) + 2n
Ta có : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
2n chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2
Vậy A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .

b) Để chứng minh A(n