Đề thi vào lớp 10 năng khiếu Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh 7 - 9/2003
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004
Câu 1 :
1) Chứng minh rằng : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b.
2) Giải hệ phương trình :


Câu 2 :
1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 22n + 1 - 2n + 1 + 1 ; bn = 22n + 1 + 2n + 1 + 1. Chứng minh rằng với mọi n, an.bn chia hết cho 5 và an + bn không chia hết cho 5.
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng.
Câu 3 : Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC. Đặt A1B = x, A1C = y.
1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK. Hãy tính tỉ số r`/r theo x, y, tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó.
2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y.
Câu 4 :
1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.
2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 :
1) Cho một bảng vuông 4 x 4 ô. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0.
2) ở vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ?
Đề thi vào lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương 7 - 9/2003
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng :
T = {ax + by, x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1}.
Chứng minh rằng các số :


đều thuộc tập T.
Bài 2 : (2,0 điểm)
Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh AB, AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) của ΔABC và đường thẳng DE đồng quy.
Bài 3 : (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :


2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là các số nguyên dương.
Bài 4 : (1,0 điểm)
Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho :


Bài 5 : (1,5 điểm)
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố.
Bài 6 : (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm là x1 và x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (